До кого звертатись за захистом прав військовослужбовця - до військового омбудсмана або до суду? 

Почну з того, що в загаловку не дарма стоїть "або". Закон "Про військового омбудсмана" визначає, що не підлягають розгляду скарги в разі, якщо вимоги скарги є предметом будь-якого судового провадження.
Інакше кажучи, якщо спір вже розглядається судом, військовий омбудсман  не може втручатись у вирішення цього спору. Тому дійсно є необхідність обирати - або військовий омбудсман, або суд. 

Перевага військового омбудсмана перед судом - відносно швидкий розгляд звернення (розгляд справи в судах може тривати і півроку, і рік, і навіть більше). 

Перевага суду перед військовим омбудсманом - можливість зобов'язати військову частину вчинити певну дію з обов'язковим подальшим виконанням рішення суду і механізмами впливу у випадку невиконання. 

Тому, на жаль,  я не маю універсальної поради, до кого краще звертатись. 
Я при виборі завжди керуюсь двома критеріями: 
 Наскільки гострою є потреба вирішити спір максимально швидко? 
 Наскільки очевидним є порушення? 

Наприклад, якщо ми говоримо про незвільнення з військової служби, у випадку зволікання з розглядом рапорту я б зверталась до військоовго омбудсмана, а у випадку незвільнення по догляду за мамою через наявність інших родичів (бо тут точно будуть дискусійні питання правозастосування)  - до суду. 

P.S. Не плутайте Омбудсмана (Уповноважений Верховної Ради з прав людини - Д. Лубінець) та Військового омбудсмана (О. Решетилова) - це різні особи з різними повноваженнями!